Durée de Macaulay
Quelle est la durée de Macaulay ?
La durée de Macaulay est la durée moyenne pondérée jusqu’à l’échéance des flux de trésorerie d’une obligation. Le poids de chaque flux de trésorerie est déterminé en divisant la valeur actuelle du flux de trésorerie par le prix. La durée de Macaulay est fréquemment utilisée par les gestionnaires de portefeuille qui utilisent une stratégie d’immunisation.
La durée de Macaulay peut être calculée comme suit :
Durée de Macaulay
=
∑
t
=
1
n
t
×
C
(
1
+
y
)
t
+
n
×
M
(
1
+
y
)
n
Cours actuel des obligations
où:
t
=
Période de temps respective
C
=
Paiement de coupon périodique
y
=
Rendement périodique
n
=
Nombre total de périodes
M
=
Valeur de maturité
\begin{aligned}&\text{Durée Macaulay} = \frac{ \sum_{t = 1} ^ {n} \frac{ t \times C }{ (1 + y) ^ t } + \frac{ n \ fois M }{ (1 + y) ^ n } }{ \text{Prix actuel de l’obligation} } \\&\textbf{où :} \\&t = \text{Période respective} \\&C = \text{Périodique paiement du coupon} \\&y = \text{Rendement périodique} \\&n = \text{Nombre total de périodes} \\&M = \text{Valeur d’échéance} \\\end{aligné} Durée de Macaulay=Cours actuel des obligations∑t=1n(1+y)tt×C+(1+y)nn×Moù:t=Période de temps respectiveC=Paiement de coupon périodiquey=Rendement périodiquen=Nombre total de périodesM=Valeur de maturité
Comprendre la durée de Macaulay
La métrique porte le nom de son créateur, Frederick Macaulay. La durée de Macaulay peut être considérée comme le point d’équilibre économique d’un groupe de flux de trésorerie. Une autre façon d’interpréter la statistique est qu’il s’agit du nombre moyen pondéré d’années pendant lesquelles un investisseur doit maintenir une position dans l’obligation jusqu’à ce que la valeur actuelle des flux de trésorerie de l’obligation soit égale au montant payé pour l’obligation.
Facteurs affectant la durée
Le prix, l’échéance, le coupon et le rendement à l’échéance d’une obligation sont tous des facteurs dans le calcul de la durée. Toutes choses étant égales par ailleurs, la durée augmente à mesure que l’échéance augmente. Lorsque le coupon d’une obligation augmente, sa durée diminue. À mesure que les taux d’intérêt augmentent, la durée diminue et la sensibilité de l’obligation à de nouvelles hausses des taux d’intérêt diminue. En outre, un fonds d’amortissement en place, un remboursement anticipé prévu avant l’échéance et des clauses d’appel réduisent tous la durée d’une obligation.
Exemple de calcul
Le calcul de la durée de Macaulay est simple. Supposons qu’une obligation d’une valeur nominale de 1 000 $ paie un coupon de 6 % et arrive à échéance dans trois ans. Les taux d’intérêt sont de 6 % par an, avec une capitalisation semestrielle. L’obligation paie le coupon deux fois par an et rembourse le principal lors du paiement final. Dans ce contexte, les flux de trésorerie suivants sont attendus au cours des trois prochaines années :
Période 1
:
$
30
Période 2
:
$
30
Période 3
:
$
30
Période 4
:
$
30
Période 5
:
$
30
Période 6
:
$
1
,
030
\begin{aligned} &\text{Période 1} : \$30 \\ &\text{Période 2} : \$30 \\ &\text{Période 3} : \$30 \\ &\text{Période 4} : \ 30 $ \\ &\text{Période 5} : \$30 \\ &\text{Période 6} : \$1 030 \\ \end{aligné} Période 1:$30Période 2:$30Période 3:$30Période 4:$30Période 5:$30Période 6:$1,030
Les périodes et les flux de trésorerie étant connus, un facteur d’actualisation doit être calculé pour chaque période. Ceci est calculé comme 1 ÷ (1 + r)n, où r est le taux d’intérêt et n est le numéro de période en question. Le taux d’intérêt, r, composé semestriellement est de 6 % ÷ 2 = 3 %. Par conséquent, les facteurs d’actualisation seraient :
Période 1 Facteur d’actualisation
:
1
÷
(
1
+
.
03
)
1
=
0,9709
Facteur d’actualisation de la période 2
:
1
÷
(
1
+
.
03
)
2
=
0,9426
Période 3 Facteur d’actualisation
:
1
÷
(
1
+
.
03
)
3
=
0,9151
Période 4 Facteur d’actualisation
:
1
÷
(
1
+
.
03
)
4
=
0,8885
Période 5 Facteur d’actualisation
:
1
÷
(
1
+
.
03
)
5
=
0,8626
Période 6 Facteur d’actualisation
:
1
÷
(
1
+
.
03
)
6
=
0,8375
\begin{aligned} &\text{Facteur d’actualisation de la période 1} : 1 \div ( 1 + 0,03 ) ^ 1 = 0,9709 \\ &\text{Facteur d’actualisation de la période 2} : 1 \div ( 1 + 0,03 ) ^ 2 = 0,9426 \\ &\text{Facteur d’actualisation de la période 3} : 1 \div ( 1 + 0,03 ) ^ 3 = 0,9151 \\ &\text{Facteur d’actualisation de la période 4} : 1 \div ( 1 + 0,03 ) ^ 4 = 0,8885 \\ &\text{Facteur d’actualisation de la période 5} : 1 \div ( 1 + 0,03 ) ^ 5 = 0,8626 \\ &\text{Facteur d’actualisation de la période 6} : 1 \div ( 1 + 0,03 ) ^ 6 = 0,8375 \\ \end{aligné} Période 1 Facteur d’actualisation:1÷(1+.03)1=0.9sept09Facteur d’actualisation de la période 2:1÷(1+.03)2=0.9426Période 3 Facteur d’actualisation:1÷(1+.03)3=0.9151Période 4 Facteur d’actualisation:1÷(1+.03)4=0.8885Période 5 Facteur d’actualisation:1÷(1+.03)5=0.8626Période 6 Facteur d’actualisation:1÷(1+.03)6=0.83sept5
Ensuite, multipliez le flux de trésorerie de la période par le numéro de la période et par son facteur d’actualisation correspondant pour trouver la valeur actuelle du flux de trésorerie :
Période 1
:
1
×
$
30
×
0,9709
=
$
29.13
Période 2
:
2
×
$
30
×
0,9426
=
$
56,56
Période 3
:
3
×
$
30
×
0,9151
=
$
82,36
Période 4
:
4
×
$
30
×
0,8885
=
$
106,62
Période 5
:
5
×
$
30
×
0,8626
=
$
129,39
Période 6
:
6
×
$
1
,
030
×
0,8375
=
$
5
,
175,65
∑
Période
=
1
6
=
$
5
,
579.71
=
numérateur
\begin{aligné} &\text{Période 1} : 1 \times \$30 \times 0,9709 = \$29,13 \\ &\text{Période 2} : 2 \times \$30 \times 0,9426 = \$56,56 \\ &\text {Période 3} : 3 \times \$30 \times 0,9151 = \$82,36 \\ &\text{Période 4} : 4 \times \$30 \times 0,8885 = \$106,62 \\ &\text{Période 5} : 5 \times \$30 \times 0,8626 = \$129,39 \\ &\text{Période 6} : 6 \times \$1 030 \times 0,8375 = \$5 175,65 \\ &\sum_{\text{ Période } = 1} ^ {6} = \$5 579,71 = \text{numérateur} \\ \end{aligned} Période 1:1×$30×0.9sept09=$29.13Période 2:2×$30×0.9426=$56.56Période 3:3×$30×0.9151=$82.36Période 4:4×$30×0.8885=$106.62Période 5:5×$30×0.8626=$129.39Période 6:6×$1,030×0.83sept5=$5,1sept5.65 Période =1∑6=$5,5sept9.sept1=numérateur
Cours actuel des obligations
=
∑
Flux de trésorerie PV
=
1
6
Cours actuel des obligations
=
30
÷
(
1
+
.
03
)
1
+
30
÷
(
1
+
.
03
)
2
Cours actuel des obligations
=
+
⋯
+
1030
÷
(
1
+
.
03
)
6
Cours actuel des obligations
=
$
1
,
000
Cours actuel des obligations
=
dénominateur
\begin{aligned} &\text{Prix actuel de l’obligation} = \sum_{\text{ Flux de trésorerie PV } = 1} ^ {6} \\ &\phantom{ \text{Prix actuel de l’obligation} } = 30 \div ( 1 + 0,03 ) ^ 1 + 30 \div ( 1 + 0,03 ) ^ 2 \\ &\phantom{ \text{Prix actuel de l’obligation} = } + \cdots + 1030 \div ( 1 + 0,03 ) ^ 6 \ \ &\phantom{ \text{Prix actuel de l’obligation} } = \$1,000 \\ &\phantom{ \text{Prix actuel de l’obligation} } = \text{dénominateur} \\ \end{aligned} Cours actuel des obligations= Flux de trésorerie PV =1∑6Cours actuel des obligations=30÷(1+.03)1+30÷(1+.03)2Cours actuel des obligations=+⋯+1030÷(1+.03)6Cours actuel des obligations=$1,000Cours actuel des obligations=dénominateur
(Notez que puisque le taux du coupon et le taux d’intérêt sont les mêmes, l’obligation se négociera au pair.)
Durée de Macaulay
=
$
5
,
579.71
÷
$
1
,
000
=
5.58
\begin{aligned} &\text{Macaulay Duration} = \$5,579.71 \div \$1,000 = 5.58 \\ \end{aligned} Durée de Macaulay=$5,5sept9.sept1÷$1,000=5.58
Une obligation à coupon aura toujours sa durée inférieure à sa durée jusqu’à l’échéance. Dans l’exemple ci-dessus, la durée de 5,58 semestres est inférieure à la durée jusqu’à l’échéance de six semestres. Autrement dit, 5,58 ÷ 2 = 2,79 ans, soit moins de trois ans.