Définition du modèle de Black-Scholes : formule et équation

Qu’est-ce que le modèle Black-Scholes ?

Le modèle Black-Scholes, également connu sous le nom de modèle Black-Scholes-Merton (BSM), est l’un des concepts les plus importants de la théorie financière moderne. Cette équation mathématique estime la valeur théorique des dérivés d’autres instruments d’investissement, en tenant compte de l’impact du temps et d’autres facteurs de risque. Développé en 1973, il est toujours considéré comme l’un des meilleurs moyens de tarification d’un contrat d’options.

Comprendre le modèle Black-Scholes

Développé en 1973 par Fischer Black, Robert Merton et Myron Scholes, le modèle Black-Scholes a été la première méthode mathématique largement utilisée pour calculer la valeur théorique d’un contrat d’option, en utilisant les cours boursiers actuels, les dividendes attendus, le prix d’exercice de l’option, attendu les taux d’intérêt, le délai d’expiration et la volatilité attendue.

L’équation initiale a été introduite dans l’article de Black et Scholes de 1973, « The Pricing of Options and Corporate Liabilities », publié dans le Revue d’économie politique. Robert C. Merton a aidé à éditer ce document. Plus tard cette année-là, il a publié son propre article, « Theory of Rational Option Pricing », dans Le Journal Bell des sciences économiques et de gestion, élargir la compréhension mathématique et les applications du modèle, et inventer le terme « théorie Black-Scholes de la tarification des options ».

En 1997, Scholes et Merton ont reçu le prix Nobel commémoratif en sciences économiques pour leurs travaux visant à trouver « une nouvelle méthode pour déterminer la valeur des dérivés ». Black était décédé deux ans plus tôt et ne pouvait donc pas être récipiendaire, car les prix Nobel ne sont pas décernés à titre posthume; cependant, le comité Nobel a reconnu son rôle dans le modèle Black-Scholes.

Comment fonctionne le modèle Black-Scholes

Black-Scholes postule que les instruments, tels que les actions ou les contrats à terme, auront une distribution lognormale des prix suivant une marche aléatoire avec une dérive et une volatilité constantes. En utilisant cette hypothèse et en tenant compte d’autres variables importantes, l’équation calcule le prix d’une option d’achat de style européen.

L’équation de Black-Scholes requiert cinq variables. Ces entrées sont la volatilité, le prix de l’actif sous-jacent, le prix d’exercice de l’option, le temps jusqu’à l’expiration de l’option et le taux d’intérêt sans risque. Avec ces variables, il est théoriquement possible pour les vendeurs d’options de fixer des prix rationnels pour les options qu’ils vendent.

De plus, le modèle prédit que le prix des actifs fortement négociés suit un mouvement brownien géométrique avec une dérive et une volatilité constantes. Lorsqu’il est appliqué à une option d’achat d’actions, le modèle intègre la variation constante du prix de l’action, la valeur temporelle de l’argent, le prix d’exercice de l’option et le délai jusqu’à l’expiration de l’option.

Hypothèses de Black-Scholes

Le modèle Black-Scholes fait certaines hypothèses :

• Aucun dividende n’est versé pendant la durée de l’option.
• Les marchés sont aléatoires (c’est-à-dire que les mouvements du marché ne peuvent pas être prédits).
• Il n’y a pas de frais de transaction pour l’achat de l’option.
• Le taux sans risque et la volatilité du sous-jacent sont connus et constants.
• Les rendements de l’actif sous-jacent sont distribués de manière log-normale.
• L’option est européenne et ne peut être exercée qu’à l’échéance.

Alors que le modèle original de Black-Scholes ne tenait pas compte des effets des dividendes versés pendant la durée de vie de l’option, le modèle est fréquemment adapté pour tenir compte des dividendes en déterminant la valeur à la date ex-dividende de l’action sous-jacente. Le modèle est également modifié par de nombreux teneurs de marché vendeurs d’options pour tenir compte de l’effet des options qui peuvent être exercées avant l’expiration.

La formule modèle Black-Scholes

Les mathématiques impliquées dans la formule sont compliquées et peuvent être intimidantes. Heureusement, vous n’avez pas besoin de connaître ou même de comprendre les mathématiques pour utiliser la modélisation Black-Scholes dans vos propres stratégies. Les traders d’options ont accès à une variété de calculateurs d’options en ligne, et de nombreuses plateformes de trading d’aujourd’hui disposent d’outils d’analyse d’options robustes, y compris des indicateurs et des feuilles de calcul qui effectuent les calculs et génèrent les valeurs de prix des options.

La formule d’option d’achat de Black-Scholes est calculée en multipliant le cours de l’action par la fonction de distribution de probabilité normale standard cumulative. Par la suite, la valeur actuelle nette (VAN) du prix d’exercice multipliée par la distribution normale standard cumulée est soustraite de la valeur résultante du calcul précédent.

En notation mathématique :

$\begin{array}{cc}& \end{array}$

C

=

S

t

N

(

ré

1

)

−

K

e

−

r

t

N

(

ré

2

)

où:

ré

1

=

je

m

S

t

K

+

(

r

+

??

v

2

2

)

t

??

s

t

et

ré

2

=

ré

1

−

??

s

t

où:

C

=

Prix ​​de l’option d’achat

S

=

Cours actuel de l’action (ou autre sous-jacent)

K

=

Prix ​​d’exercice

r

=

Taux d’intérêt sans risque

t

=

Délai de maturité

N

=

Une distribution normale

begin{aligned} &C = S_t N(d _1) – K e ^{-rt} N(d _2)\ &textbf{où :}\ &d_1 = frac{lnfrac{S_t}{K } + (r+ frac{sigma ^{2} _v}{2}) t}{sigma_s sqrt{t}}\ &text{and}\ &d_2 = d _1 – sigma_s sqrt{t}\ &textbf{où :}\ &C = text{Prix de l’option d’achat}\ &S = text{Prix actuel de l’action (ou autre sous-jacent)}\ &K = text{Prix d’exercice }\ &r = text{Taux d’intérêt sans risque}\ &t = text{Délai jusqu’à l’échéance}\ &N = text{Une distribution normale}\ end{aligned} ​C=St​N(ré1​)−Ke−rtN(ré2​)où:ré1​=??s​ t​jemKSt​​+(r+2??v2​​) t​etré2​=ré1​−??s​ t​où:C=Prix ​​de l’option d’achatS=Cours actuel de l’action (ou autre sous-jacent)K=Prix ​​d’exercicer=Taux d’intérêt sans risquet=Délai de maturitéN=Une distribution normale​

Inclinaison de la volatilité

Black-Scholes suppose que les cours des actions suivent une distribution lognormale parce que les prix des actifs ne peuvent pas être négatifs (ils sont bornés par zéro).

On observe souvent que les prix des actifs présentent une asymétrie droite significative et un certain degré de kurtosis (grosses queues). Cela signifie que les mouvements à la baisse à haut risque se produisent souvent plus souvent sur le marché qu’une distribution normale ne le prévoit.

L’hypothèse de prix des actifs sous-jacents log-normaux devrait montrer que les volatilités implicites sont similaires pour chaque prix d’exercice selon le modèle de Black-Scholes. Cependant, depuis le krach boursier de 1987, les volatilités implicites des options à parité ont été inférieures à celles qui sont plus en dehors de la monnaie ou loin de la monnaie. La raison de ce phénomène est que le marché anticipe une plus grande probabilité d’une forte volatilité à la baisse sur les marchés.

Cela a conduit à la présence du biais de volatilité. Lorsque les volatilités implicites des options ayant la même date d’expiration sont représentées sur un graphique, une forme de sourire ou de biais peut être observée. Ainsi, le modèle de Black-Scholes n’est pas efficace pour calculer la volatilité implicite.

Inconvénients du modèle Black-Scholes

Comme indiqué précédemment, le modèle Black-Scholes n’est utilisé que pour évaluer les options européennes et ne tient pas compte du fait que les options américaines pourraient être exercées avant la date d’expiration. De plus, le modèle suppose que les dividendes et les taux sans risque sont constants, mais cela peut ne pas être vrai dans la réalité. Le modèle suppose également que la volatilité reste constante sur la durée de vie de l’option, ce qui n’est pas le cas car la volatilité fluctue avec le niveau de l’offre et de la demande.

De plus, les autres hypothèses—qu’il n’y a pas de frais de transaction ni de taxes ; que le taux d’intérêt sans risque est constant pour toutes les échéances ; que la vente à découvert de titres avec utilisation du produit est autorisée ; et qu’il n’y a pas d’opportunités d’arbitrage sans risque – peut conduire à des prix qui s’écartent de ceux du monde réel.