Un mathématicien révèle le plus ancien exemple de géométrie appliquée au monde

Un mathématicien de l’UNSW a révélé les origines de la géométrie appliquée sur une tablette d’argile vieille de 3700 ans qui se cache à la vue de tous dans un musée d’Istanbul depuis plus d’un siècle.

La tablette, connue sous le nom de Si.427, a été découverte à la fin du 19^e siècle dans ce qui est maintenant le centre de l’Irak, mais sa signification était inconnue jusqu’à ce que le travail de détective du scientifique de l’UNSW soit révélé aujourd’hui.

Plus intéressant encore, le Si.427 est considéré comme le plus ancien exemple connu de géométrie appliquée – et dans l’étude publiée aujourd’hui dans Fondements de la science, la recherche révèle également une histoire humaine fascinante de l’arpentage.

« Si.427 date de la période Old Babylonian (OB)—1900 à 1600 avant notre ère », explique le chercheur principal, le Dr Daniel Mansfield, de l’École de mathématiques et de statistiques de l’UNSW Science.

« C’est le seul exemple connu d’un document cadastral de la période OB, qui est un plan utilisé par les arpenteurs pour définir les limites des terres. Dans ce cas, il nous donne des détails juridiques et géométriques sur un champ qui est divisé après la vente d’une partie. « 

Il s’agit d’un objet important parce que l’arpenteur utilise ce que l’on appelle maintenant les « triples de Pythagore » pour faire des angles droits précis.

« La découverte et l’analyse de la tablette ont des implications importantes pour l’histoire des mathématiques », explique le Dr Mansfield. « Par exemple, c’est plus de mille ans avant la naissance de Pythagore. »

Dans la foulée d’une autre découverte mondiale

En 2017, le Dr Mansfield a conjecturé qu’un autre artefact fascinant de la même période, connu sous le nom de Plimpton 322, était un type unique de table trigonométrique.

« Il est généralement admis que la trigonométrie – la branche des mathématiques qui s’intéresse à l’étude des triangles – a été développée par les anciens Grecs étudiant le ciel nocturne au IIe siècle avant notre ère », explique le Dr Mansfield.

« Mais les Babyloniens ont développé leur propre ‘proto-trigonométrie’ alternative pour résoudre les problèmes liés à la mesure du sol, pas du ciel. »

On pense que la tablette révélée aujourd’hui existait avant même Plimpton 322 – en fait, les problèmes d’arpentage ont probablement inspiré Plimpton 322.

« Il existe tout un zoo de triangles rectangles de formes différentes. Mais seule une très petite poignée peut être utilisée par les géomètres babyloniens. Plimpton 322 est une étude systématique de ce zoo pour découvrir les formes utiles », explique le Dr Mansfield.

Objectif de la tablette révélé : arpentage des terres

En 2017, l’équipe a spéculé sur le but du Plimpton 322, en émettant l’hypothèse qu’il était susceptible d’avoir un but pratique, éventuellement utilisé pour construire des palais et des temples, construire des canaux ou des champs d’enquête.

« Avec cette nouvelle tablette, nous pouvons réellement voir pour la première fois Pourquoi ils s’intéressaient à la géométrie : établir des limites précises des terres », explique le Dr Mansfield.

« C’est à partir d’une période où la terre commence à devenir privée – les gens ont commencé à penser à la terre en termes de » ma terre et votre terre « , voulant établir une limite appropriée pour avoir des relations de voisinage positives. Et c’est ce que cette tablette dit immédiatement C’est un domaine qui se divise et de nouvelles frontières sont créées. »

Il y a même des indices cachés sur d’autres tablettes de cette période sur les histoires derrière ces frontières.

« Une autre tablette fait référence à un différend entre Sin-bel-apli – un individu éminent mentionné sur de nombreuses tablettes, dont Si.427 – et une riche propriétaire terrienne », explique le Dr Mansfield.

« Le différend porte sur des palmiers dattiers de valeur à la frontière entre leurs deux propriétés. L’administrateur local accepte d’envoyer un arpenteur pour résoudre le différend. Il est facile de voir à quel point la précision était importante dans la résolution des différends entre des individus aussi puissants. »

Le Dr Mansfield dit que la façon dont ces limites sont faites révèle une réelle compréhension géométrique.

« Personne ne s’attendait à ce que les Babyloniens utilisaient les triplets pythagoriciens de cette manière », explique le Dr Mansfield. « Cela s’apparente plus à des mathématiques pures, inspirées des problèmes pratiques de l’époque. »

Créer des angles droits, plus facile à dire qu’à faire

Une façon simple de faire un angle droit précis est de faire un rectangle avec des côtés 3 et 4 et une diagonale 5. Ces nombres spéciaux forment le 3-4-5 « triple de Pythagore » et un rectangle avec ces mesures a des angles droits mathématiquement parfaits. Ceci est important pour les arpenteurs antiques et encore utilisé aujourd’hui.

« Les anciens arpenteurs qui ont fabriqué le Si.427 ont fait quelque chose d’encore mieux : ils ont utilisé une variété de triplets pythagoriciens différents, à la fois sous forme de rectangles et de triangles rectangles, pour construire des angles droits précis », explique le Dr Mansfield.

Cependant, il est difficile de travailler avec des nombres premiers supérieurs à 5 dans le système de numération babylonien de base 60.

« Cela soulève un problème très particulier : leur système de numérotation unique en base 60 signifie que seules certaines formes pythagoriciennes peuvent être utilisées », explique le Dr Mansfield.

« Il semble que l’auteur de Plimpton 322 ait parcouru toutes ces formes pythagoriciennes pour trouver celles qui sont utiles.

« Cette compréhension profonde et hautement numérique de l’utilisation pratique des rectangles mérite le nom de » proto-trigonométrie « , mais elle est complètement différente de notre trigonométrie moderne impliquant sin, cos et tan. »

Chasser Si.427

Le Dr Mansfield a découvert le Si.427 pour la première fois en lisant des archives de fouilles – la tablette a été déterrée lors de l’expédition Sippar de 1894, dans ce qui est aujourd’hui la province de Bagdad en Irak.

« C’était un vrai défi de retrouver la tablette à partir de ces documents et de la trouver physiquement – le rapport disait que la tablette était allée au Musée impérial de Constantinople, un endroit qui n’existe évidemment plus.

« À l’aide de cette information, je me suis lancé dans une quête pour le retrouver, en parlant à de nombreuses personnes dans les ministères et les musées du gouvernement turc, jusqu’à ce qu’un jour, à la mi-2018, une photo de Si.427 ait finalement atterri dans ma boîte de réception.

« C’est à ce moment-là que j’ai appris qu’il était en fait exposé au musée. Même après avoir localisé l’objet, il a encore fallu des mois pour comprendre à quel point il est important, et c’est donc vraiment satisfaisant de pouvoir enfin partager cette histoire. »

Ensuite, le Dr Mansfield espère découvrir quelles autres applications les Babyloniens avaient pour leur proto-trigonométrie.

Il ne reste qu’un mystère que le Dr Mansfield n’a pas débloqué : au dos de la tablette, tout en bas, il répertorie le nombre sexagésimal « 25:29 » en gros caractères – pensez-y comme 25 minutes et 29 secondes.

« Je n’arrive pas à comprendre ce que signifient ces nombres – c’est une énigme absolue. Je suis impatient de discuter de toute piste avec des historiens ou des mathématiciens qui pourraient avoir une intuition sur ce que ces nombres essaient de nous dire ! »