Fonction de densité de probabilité (PDF)
Qu’est-ce qu’une fonction de densité de probabilité (PDF) ?
La fonction de densité de probabilité (PDF) est une expression statistique qui définit une distribution de probabilité (la probabilité d’un résultat) pour une variable aléatoire discrète (par exemple, une action ou un ETF) par opposition à une variable aléatoire continue. La différence entre une variable aléatoire discrète est que vous pouvez identifier une valeur exacte de la variable.
La distribution normale est un exemple courant de PDF, formant la forme bien connue de la courbe en cloche.
En finance, les traders et les investisseurs utilisent les PDF pour comprendre comment les rendements des prix sont distribués afin d’évaluer leur profil de risque et de rendement attendu.
Points clés à retenir
- Les fonctions de densité de probabilité sont une mesure statistique utilisée pour évaluer le résultat probable d’une valeur discrète (par exemple, le prix d’une action ou d’un ETF).
- Les PDF sont tracés sur un graphique ressemblant généralement à une courbe en cloche, la probabilité des résultats se trouvant sous la courbe.
- Une variable discrète peut être mesurée exactement, tandis qu’une variable continue peut avoir des valeurs infinies.
- Les fichiers PDF peuvent être utilisés pour évaluer le risque/récompense potentiel d’un titre ou d’un fonds particulier dans un portefeuille.
- La distribution normale est souvent citée, formant une courbe en forme de cloche.
Comprendre les fonctions de densité de probabilité (PDF)
Les PDF sont utilisés dans la finance pour évaluer le risque d’un titre particulier, comme une action individuelle ou un ETF.
Ils sont généralement représentés sur un graphique, avec une courbe en cloche normale indiquant un risque de marché neutre, et une cloche à chaque extrémité indiquant un risque/rendement plus ou moins élevé. Lorsque le PDF est représenté graphiquement, la zone sous la courbe indiquera l’intervalle dans lequel la variable tombera. La surface totale dans cet intervalle du graphique est égale à la probabilité qu’une variable aléatoire discrète se produise.
Plus précisément, étant donné que la probabilité absolue qu’une variable aléatoire continue prenne une valeur spécifique est nulle en raison de l’ensemble infini de valeurs possibles disponibles, la valeur d’un PDF peut être utilisée pour déterminer la probabilité qu’une variable aléatoire tombe dans une plage spécifique. de valeurs.
Image de Julie Bang © Investopedia 2020
Une distribution asymétrique vers la droite de la courbe suggère une plus grande récompense à la hausse, tandis qu’une distribution asymétrique vers la gauche indique un risque de baisse plus important pour les traders.
Les distributions de probabilité peuvent également être utilisées pour créer des fonctions de distribution cumulatives (CDF), qui additionnent la probabilité d’occurrences de manière cumulative et commencent toujours à zéro et se terminent à 100 %.
Les investisseurs devraient utiliser les PDF comme l’un des nombreux outils pour calculer le risque/rendement global en jeu dans leurs portefeuilles.
Fonctions de distribution de probabilité discrète vs continue
Les PDF peuvent décrire des données discrètes ou continues. La différence est que les variables discrètes ne peuvent prendre que des valeurs spécifiques, telles que des nombres entiers, oui contre non, des heures de la journée, etc. Une variable continue, en revanche, contient toutes les valeurs le long de la courbe, y compris de très petites fractions ou décimales jusqu’à un nombre théoriquement infini de places.
PDF discret ou continu.
Image de Julie Bang © Investopedia 2020
Calcul d’une fonction de distribution de probabilité
Les fichiers PDF sont souvent caractérisés par leur moyenne, leur écart type, leur aplatissement et leur asymétrie.
- Moyenne: la valeur moyenne arithmétique
- Écart-type: la dispersion des données autour de la moyenne
- Aplatissement: décrit le « gras » des queues du PDF
- Asymétrie: fait référence aux écarts dans la symétrie du PDF
Le calcul du PDF et sa représentation graphique peuvent impliquer des calculs complexes qui utilisent des équations différentielles ou le calcul intégral. En pratique, des calculatrices graphiques ou des progiciels statistiques sont nécessaires pour calculer une fonction de distribution de probabilité.
La distribution normale
A titre d’exemple, le calcul de la PDF de la distribution normale est le suivant :
Formule de distribution normale.
où:
- X = valeur de la variable ou des données examinées et f(x) la fonction de probabilité
- μ = la moyenne
- σ = l’écart type
Une distribution normale a toujours une asymétrie = 0 et un aplatissement = 3,0.
Autres fonctions de distribution de probabilité
Bien que la distribution normale soit souvent la plus citée et la plus connue, plusieurs autres PDF existent.
Distribution uniforme
La distribution la plus simple et la plus populaire est la distribution uniforme, dans laquelle tous les résultats ont une chance égale de se produire. Un dé à six faces a une distribution uniforme. Chaque résultat a une probabilité d’environ 16,67 % (1/6).
Image de Julie Bang © Investopedia 2020
Distribution binomiale
La distribution binomiale représente des données qui ne peuvent prendre que l’une des deux valeurs, telles que le lancer d’une pièce (pile contre pile) ou des expressions logiques qui prennent la forme de oui/non, marche/arrêt, etc.
Un histogramme d’une distribution binomiale.
CKTaylor
Distribution log-normale
La distribution lognormale est importante en finance car elle décrit mieux les rendements réels des prix des actifs que la distribution normale standard. Ce PDF a une asymétrie positive (à droite) et un aplatissement plus élevé.
Distribution log-normale.
Image de Julie Bang © Investopedia 2020
Loi de Poisson
La distribution de Poisson est un PDF utilisé pour décrire les variables de comptage ou les probabilités qu’un certain nombre d’occurrences se produise. Par exemple, combien de pommes se trouvent sur les pommiers, combien d’abeilles sont vivantes dans une ruche au fil du temps ou combien de jours de bourse un portefeuille perdra 5 % ou plus.
Image de Julie Bang © Investopedia 2020
Distribution bêta
La distribution bêta est un type général de PDF qui peut prendre diverses formes et caractéristiques, définies par seulement deux paramètres : alpha et bêta. Il est souvent utilisé en finance pour estimer les taux de recouvrement des défauts obligataires ou les taux de mortalité en assurance.
Variations de la distribution bêta.
Exemple de fonction de densité de probabilité
Comme exemple simple d’une distribution de probabilité, regardons le nombre observé lors du lancement de deux dés standard à six faces. Chaque dé a une probabilité de 1/6 de lancer n’importe quel nombre, de un à six, mais la somme de deux dés formera la distribution de probabilité illustrée dans l’image ci-dessous.
Sept est le résultat le plus courant (1+6, 6+1, 5+2, 2+5, 3+4, 4+3). Deux et douze, en revanche, sont beaucoup moins probables (1+1 et 6+6).
Image de Sabrina Jiang © Investopedia 2020
Que nous dit une fonction de densité de probabilité (PDF) ?
Une fonction de densité de probabilité (PDF) décrit la probabilité d’observer un résultat résultant d’un processus de génération de données. Par exemple, quelle est la probabilité qu’une pièce équitable retournée tombe face (50 %). Ou le rôle d’un dé pour arriver à 6 (1/6 = 16,7%). Un PDF peut nous dire quelles valeurs sont donc les plus susceptibles d’apparaître par rapport aux résultats les moins probables. Cela changera en fonction de la forme et des caractéristiques du PDF.
Qu’est-ce que le théorème central limite (CLT) et comment est-il lié aux PDF ?
Le théorème central limite (CLT) stipule que la distribution d’une variable aléatoire dans un échantillon commencera à se rapprocher d’une distribution normale à mesure que la taille de l’échantillon devient plus grande, quelle que soit la forme réelle de la distribution. Ainsi, nous savons que lancer une pièce est un processus binaire, décrit par la distribution binomiale (face ou face). Cependant, si nous considérons plusieurs lancers de pièces, les chances d’obtenir une combinaison particulière de pile et face commencent à différer. Par exemple, si nous devions lancer la pièce dix fois, les chances d’obtenir 5 de chaque sont les plus probables, mais obtenir dix faces d’affilée est extrêmement rare. Imaginez 1 000 lancers de pièces et la distribution se rapproche de la courbe en cloche normale.
Qu’est-ce qu’un PDF par rapport à un CDF ?
Une fonction de densité de probabilité (PDF) explique quelles valeurs sont susceptibles d’apparaître dans un processus de génération de données à un moment donné ou pour un tirage donné.
Une fonction de distribution cumulative (CDF) décrit à la place comment ces probabilités marginales s’additionnent, atteignant finalement 100 % (ou 1,0) des résultats possibles. En utilisant un CDF, nous pouvons voir la probabilité que le résultat d’une variable soit inférieur ou égal à une valeur prédite.
La figure ci-dessous, par exemple, montre la CDF pour une distribution normale.
CDF.
Image de Julie Bang © Investopedia 2020
L’essentiel
Les fonctions de distribution de probabilité (PDF) décrivent les valeurs attendues des variables aléatoires tirées d’un échantillon. La forme du PDF explique la probabilité qu’une valeur observée se soit produite. La distribution normale est un exemple couramment utilisé qui peut être décrit uniquement par sa moyenne et son écart type. D’autres PDF sont plus complexes et nuancés. Les rendements boursiers ont tendance à suivre une distribution log-normale plutôt qu’une distribution normale, ce qui indique que les pertes à la baisse sont plus fréquentes que les gains très importants, par rapport à ce que la distribution normale prédirait.