Définition de probabilité conditionnelle

Qu’est-ce que la probabilité conditionnelle ?

La probabilité conditionnelle est définie comme la probabilité qu’un événement ou un résultat se produise, sur la base de l’occurrence d’un événement ou d’un résultat précédent. La probabilité conditionnelle est calculée en multipliant la probabilité de l’événement précédent par la probabilité mise à jour de l’événement suivant, ou conditionnel.

Par exemple:

• L’événement A est qu’une personne postulant pour un collège sera acceptée. Il y a 80 % de chances que cette personne soit acceptée au collège.
• L’événement B est que cette personne recevra un logement en dortoir. Le logement en dortoir ne sera fourni qu’à 60 % de tous les étudiants acceptés.
• P (Logement accepté et dortoir) = P (Logement dortoir | Accepté) P (Accepté) = (0,60)*(0,80) = 0,48.

Une probabilité conditionnelle examinerait ces deux événements en relation l’un avec l’autre, comme la probabilité que vous soyez tous les deux acceptés à l’université, et un logement en dortoir vous est fourni.

La probabilité conditionnelle peut être opposée à la probabilité inconditionnelle. La probabilité inconditionnelle fait référence à la probabilité qu’un événement se produise indépendamment du fait que d’autres événements aient eu lieu ou que d’autres conditions soient présentes.

Comprendre la probabilité conditionnelle

Comme indiqué précédemment, les probabilités conditionnelles dépendent d’un résultat antérieur. Il fait également un certain nombre d’hypothèses. Par exemple, supposons que vous tirez trois billes (rouge, bleue et verte) d’un sac. Chaque bille a une chance égale d’être tirée. Quelle est la probabilité conditionnelle de tirer la bille rouge après avoir déjà tiré la bleue ?

Premièrement, la probabilité de tirer une bille bleue est d’environ 33 % car c’est un résultat possible sur trois. En supposant que ce premier événement se produise, il restera deux billes, chacune ayant 50% de chances d’être tirée. Ainsi, la chance de tirer une bille bleue après avoir déjà dessiné une bille rouge serait d’environ 16,5% (33% x 50%).

Comme autre exemple pour mieux comprendre ce concept, considérez qu’un dé juste a été lancé et qu’il vous est demandé de donner la probabilité qu’il s’agisse d’un cinq. Il y a six résultats également probables, donc votre réponse est 1/6.

Mais imaginez si avant de répondre, vous obtenez des informations supplémentaires indiquant que le nombre obtenu était impair. Comme il n’y a que trois nombres impairs possibles, dont l’un est cinq, vous réviseriez certainement votre estimation de la probabilité qu’un cinq soit passé de 1/6 à 1/3.

Cette modifié probabilité qu’un événement UNE s’est produit, compte tenu de l’information supplémentaire qu’un autre événement B s’est certainement produit sur cet essai de l’expérience, est appelé le probabilité conditionnelle de UNE étant donné B et est noté P(A|B).

Formule de probabilité conditionnelle

P(B|A) = P(A et B) / P(A)

Ou:

P(B|A) = P(A∩B) / P(A)

Où

P = probabilité

A = événement A

B = Événement B

Un autre exemple de probabilité conditionnelle

Autre exemple, supposons qu’un étudiant demande à être admis dans une université et espère recevoir une bourse universitaire. L’école à laquelle ils postulent accepte 100 candidats sur 1 000 (10 %) et attribue des bourses d’études à 10 étudiants sur 500 qui sont acceptés (2 %).

Parmi les boursiers, 50% d’entre eux reçoivent également des allocations universitaires pour les livres, les repas et le logement. Pour les étudiants, la chance d’être acceptés puis de recevoir une bourse est de 0,2 % (0,1 x 0,02). La chance qu’ils soient acceptés, reçoivent la bourse, puis reçoivent également une allocation pour les livres, etc. est de 0,1% (0,1 x 0,02 x 0,5).

Probabilité conditionnelle vs probabilité conjointe et probabilité marginale

Probabilite conditionnelle: p(A|B) est la probabilité que l’événement A se produise, étant donné que l’événement B se produit. Par exemple, étant donné que vous avez tiré un carton rouge, quelle est la probabilité que ce soit un quatre (p(quatre|rouge))=2/26=1/13. Donc sur les 26 cartons rouges (donc un carton rouge), il y en a deux quatre donc 2/26=1/13.

Probabilité marginale: la probabilité qu’un événement se produise (p(A)), il peut être considéré comme une probabilité inconditionnelle. Elle n’est pas conditionnée à un autre événement. Exemple : la probabilité qu’une carte tirée soit rouge (p(rouge) = 0,5). Autre exemple : la probabilité qu’une carte tirée soit un 4 (p(four)=1/13).

Probabilité conjointe: p(A et B). La probabilité de l’événement A et l’événement B se produit. C’est la probabilité de l’intersection de deux ou plusieurs événements. La probabilité de l’intersection de A et B peut s’écrire p(A B). Exemple : la probabilité qu’une carte soit un quatre et rouge =p(quatre et rouge) = 2/52=1/26. (Il y a deux fours rouges dans un jeu de 52, le 4 de cœur et le 4 de carreau).

Théorème de Bayes

Le théorème de Bayes, du nom du mathématicien britannique du XVIIIe siècle Thomas Bayes, est une formule mathématique permettant de déterminer la probabilité conditionnelle. Le théorème fournit un moyen de réviser les prédictions ou théories existantes (probabilités de mise à jour) compte tenu de preuves nouvelles ou supplémentaires. En finance, le théorème de Bayes peut être utilisé pour évaluer le risque de prêter de l’argent à des emprunteurs potentiels.

Le théorème de Bayes est également appelé règle de Bayes ou loi de Bayes et constitue le fondement du domaine des statistiques bayésiennes. Cet ensemble de règles de probabilité permet de mettre à jour leurs prédictions d’événements se produisant sur la base de nouvelles informations qui ont été reçues, ce qui permet d’obtenir des estimations meilleures et plus dynamiques.

La ligne de fond

La probabilité conditionnelle examine la probabilité qu’un événement se produise en fonction de la probabilité qu’un événement précédent se produise. Le deuxième événement dépend du premier événement. Il est calculé en multipliant la probabilité du premier événement par la probabilité du deuxième événement.