Définition de la durée modifiée

Qu’est-ce que la durée modifiée ?

La duration modifiée est une formule qui exprime la variation mesurable de la valeur d’un titre en réponse à une variation des taux d’intérêt. La durée modifiée suit le concept selon lequel les taux d’intérêt et les prix des obligations évoluent dans des directions opposées. Cette formule est utilisée pour déterminer l’effet qu’une variation de 100 points de base (1 %) des taux d’intérêt aura sur le prix d’une obligation.

Formule et calcul de la durée modifiée

$\begin{array}{cc}& \end{array}$

Durée modifiée

=

Durée de Macaulay

1

+

n

YTM

où:

Durée de Macaulay

=

Durée moyenne pondérée à

échéance des flux de trésorerie d’une obligation

YTM

=

Rendement à maturité

n

=

Nombre de périodes de coupons par an

\begin{aligned}&\text{Durée modifiée}=\frac{\text{Macaulay Duration}}{1+\overset{\text{YTM}}{n}}\\&\textbf{where :}\\ &\text{Macaulay Duration}=\text{Durée moyenne pondérée à}\\&\qquad\text{échéance des flux de trésorerie d’une obligation}\\&\text{YTM}=\text{Rendement à l’échéance}\ \&n=\text{Nombre de périodes de coupons par an}\end{aligned} ​Durée modifiée=1+nYTMDurée de Macaulay​où:Durée de Macaulay=Durée moyenne pondérée àéchéance des flux de trésorerie d’une obligationYTM=Rendement à maturitén=Nombre de périodes de coupons par an​

La durée modifiée est une extension de la durée de Macaulay, qui permet aux investisseurs de mesurer la sensibilité d’une obligation aux variations des taux d’intérêt. La durée de Macaulay calcule le temps moyen pondéré avant qu’un détenteur d’obligations ne reçoive les flux de trésorerie de l’obligation. Afin de calculer la durée modifiée, la durée de Macaulay doit d’abord être calculée. La formule de la durée de Macaulay est :

$\begin{array}{cc}& \end{array}$

Durée de Macaulay

=

∑

t

=

1

n

(

PV

×

FC

)

×

t

Prix ​​du marché de l’obligation

où:

PV

×

FC

=

Valeur actuelle du coupon à la période

t

t

=

Temps pour chaque flux de trésorerie en années

n

=

Nombre de périodes de coupons par an

\begin{aligned}&\text{Durée Macaulay}=\frac{\sum^n_{t=1}(\text{PV}\times \text{CF})\times \text{t}}{\text {Prix du marché de l’obligation}}\\&\textbf{où :}\\&\text{PV}\times \text{CF}=\text{Valeur actuelle du coupon à la période }t\\&\text{t }=\text{Durée de chaque flux de trésorerie en années}\\&n=\text{Nombre de périodes de coupon par an}\end{aligned} ​Durée de Macaulay=Prix ​​du marché de l’obligation∑t=1n​(PV×FC)×t​où:PV×FC=Valeur actuelle du coupon à la période tt=Temps pour chaque flux de trésorerie en annéesn=Nombre de périodes de coupons par an​

Ici, (PV) * (CF) est la valeur actuelle d’un coupon à la période t, et T est égal au temps de chaque flux de trésorerie en années. Ce calcul est effectué et additionné pour le nombre de périodes jusqu’à l’échéance.

Ce que la durée modifiée peut vous dire

La durée modifiée mesure la durée moyenne pondérée en fonction des liquidités jusqu’à l’échéance d’une obligation. Il s’agit d’un chiffre très important que les gestionnaires de portefeuille, les conseillers financiers et les clients doivent prendre en compte lors de la sélection des investissements car, tous autres facteurs de risque égaux, les obligations à durée plus élevée ont une plus grande volatilité des prix que les obligations à durée plus courte. Il existe de nombreux types de durée et tous les composants d’une obligation, tels que son prix, son coupon, sa date d’échéance et ses taux d’intérêt, sont utilisés pour calculer la durée.

Voici quelques principes de durée à garder à l’esprit. Premièrement, à mesure que l’échéance augmente, la durée augmente et l’obligation devient plus volatile. Deuxièmement, à mesure que le coupon d’une obligation augmente, sa durée diminue et l’obligation devient moins volatile. Troisièmement, à mesure que les taux d’intérêt augmentent, la duration diminue et la sensibilité de l’obligation à de nouvelles hausses des taux d’intérêt diminue.

Exemple d’utilisation de la durée modifiée

Supposons qu’une obligation de 1 000 $ ait une échéance de trois ans, paie un coupon de 10 % et que les taux d’intérêt soient de 5 %. Cette obligation, suivant la formule de base de tarification des obligations, aurait un prix de marché de :

$\begin{array}{cc}& \end{array}$

Prix ​​du marché

=

$

100

1.05

+

$

100

1.0

5

2

+

$

1

,

100

1.0

5

3

Prix ​​du marché

=

$

95,24

+

$

90,70

+

$

950.22

Prix ​​du marché

=

$

1

,

136.16

\begin{aligned} &\text{Prix du marché} = \frac{ \$100 }{ 1,05 } + \frac{ \$100 }{ 1,05 ^ 2 } + \frac{ \$1,100 }{ 1,05 ^ 3 } \\ &\ phantom{\text{Prix du marché} } = \$95.24 + \$90.70 + \$950.22\\ &\phantom{\text{Prix du marché} } = \$1,136.16 \\ \end{aligned} ​Prix ​​du marché=1.05$100​+1.052$100​+1.053$1,100​Prix ​​du marché=$95.24+$90.sept0+$950.22Prix ​​du marché=$1,136.16​

Ensuite, en utilisant la formule de durée de Macaulay, la durée est calculée comme suit :

$\begin{array}{c}\end{array}$

Durée de Macaulay

=

(

$

95,24

×

1

$

1

,

136.16

)

+

(

$

90,70

×

2

$

1

,

136.16

)

+

(

$

950.22

×

3

$

1

,

136.16

)

=

2.753

\begin{aligned}\text{Durée Macaulay}&=\bigg(\$95.24\times\frac{1}{\$1,136.16}\bigg)\\&\quad+\bigg(\$90.70\times\frac{2}{ \$1 136,16}\bigg)\\&\quad+\bigg(\$950,22\times\frac{3}{\$1 136,16}\bigg)\\&=2,753\end{aligned} Durée de Macaulay​=($95.24×$1,136.161​)+($90.sept0×$1,136.162​)+($950.22×$1,136.163​)=2.sept53​

Ce résultat montre qu’il faut 2,753 ans pour récupérer le véritable coût de l’obligation. Avec ce nombre, il est maintenant possible de calculer la durée modifiée.

Pour trouver la duration modifiée, il suffit à un investisseur de prendre la duration de Macaulay et de la diviser par 1 + (rendement à l’échéance / nombre de périodes de coupon par an). Dans cet exemple, ce calcul serait 2,753 / (1,05 / 1), soit 2,62 %. Cela signifie que pour chaque mouvement de 1 % des taux d’intérêt, l’obligation dans cet exemple se déplacerait inversement en prix de 2,62 %.