Qu’est-ce que la loi des grands nombres ?
Qu’est-ce que la loi des grands nombres ?
La loi des grands nombres, en probabilité et en statistique, stipule qu’à mesure que la taille d’un échantillon augmente, sa moyenne se rapproche de la moyenne de l’ensemble de la population. Cela est dû au fait que l’échantillon est plus représentatif de la population à mesure que l’échantillon devient plus grand.
Dans un contexte financier, la loi des grands nombres indique qu’une grande entité qui se développe rapidement ne peut pas maintenir ce rythme de croissance indéfiniment. Les plus grands des blue chips, avec des valeurs marchandes de l’ordre de centaines de milliards, sont fréquemment cités comme exemples de ce phénomène.
Points clés à retenir
- La loi des grands nombres stipule qu’une moyenne d’échantillon observée à partir d’un grand échantillon sera proche de la vraie moyenne de la population et qu’elle se rapprochera d’autant plus que l’échantillon est grand.
- La loi des grands nombres ne garantit pas qu’un échantillon donné, en particulier un petit échantillon, reflétera les vraies caractéristiques de la population ou qu’un échantillon qui ne reflète pas la vraie population sera équilibré par un échantillon ultérieur.
- La loi des grands nombres indique qu’un échantillon plus grand représentera une moyenne de population, tandis que le théorème de tendance centrale stipule qu’un échantillon plus grand représentera la distribution d’une population.
- En affaires, le terme « loi des grands nombres » est parfois utilisé dans un sens différent pour exprimer la relation entre l’échelle et les taux de croissance.
- Au fur et à mesure qu’une entreprise grandit, elle éprouve des difficultés à maintenir des objectifs de pourcentage car les dollars sous-jacents peuvent devenir trop importants et irréalisables.
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Comprendre la loi des grands nombres
La loi des grands nombres peut faire référence à deux sujets différents. Premièrement, dans l’analyse statistique, la loi des grands nombres peut être appliquée à une variété de sujets. Il n’est peut-être pas possible d’interroger chaque individu au sein d’une population donnée pour collecter la quantité de données requise, mais chaque point de données supplémentaire collecté a le potentiel d’augmenter la probabilité que le résultat soit une véritable mesure de la moyenne.
La loi des grands nombres ne signifie pas qu’un échantillon donné ou un groupe d’échantillons successifs reflètera toujours les véritables caractéristiques de la population, en particulier pour les petits échantillons. Cela signifie également que si un échantillon donné ou une série d’échantillons s’écarte de la vraie moyenne de la population, la loi des grands nombres ne garantit pas que des échantillons successifs déplaceront la moyenne observée vers la moyenne de la population (comme suggéré par le sophisme du joueur).
Deuxièmement, le terme « loi des grands nombres » est parfois utilisé dans les affaires en relation avec les taux de croissance, exprimés en pourcentage. Cela suggère qu’à mesure qu’une entreprise se développe, le pourcentage de croissance devient de plus en plus difficile à maintenir. En effet, le montant sous-jacent en dollars augmente en fait même si le taux de croissance en pourcentage doit rester constant.
La loi des grands nombres ne doit pas être confondue avec la loi des moyennes, qui stipule que la distribution des résultats dans un échantillon (grand ou petit) reflète la distribution des résultats de la population.
Loi des grands nombres et analyse statistique
Si une personne voulait déterminer la valeur moyenne d’un ensemble de données de 100 valeurs possibles, il est plus probable qu’elle atteigne une moyenne précise en choisissant 20 points de données au lieu de s’appuyer sur seulement deux. En effet, il y a une plus grande probabilité que les deux points de données soient des valeurs aberrantes ou non représentatives de la moyenne, alors qu’il y a une probabilité plus faible que les 20 points de données soient non représentatifs.
Par exemple, si l’ensemble de données comprenait tous les nombres entiers de un à 100 et que le preneur d’échantillons n’a tiré que deux valeurs, telles que 95 et 40, il peut déterminer que la moyenne est d’environ 67,5. S’il continuait à prendre des échantillons aléatoires jusqu’à 20 variables, la moyenne devrait se déplacer vers la vraie moyenne à mesure qu’il considère plus de points de données.
Loi des grands nombres et théorème central limite
En analyse statistique, la loi des grands nombres est liée au théorème central limite. Le théorème central limite stipule que lorsque la taille de l’échantillon augmente, la moyenne de l’échantillon sera uniformément répartie. Ceci est souvent représenté comme une courbe en forme de cloche où le pic de la courbe représente la moyenne et même les distributions des données d’échantillon tombent à gauche et à droite de la courbe.
De manière connexe, la loi des grands nombres stipule également que les données sont affinées à mesure que l’échantillon grandit. Cependant, la loi des grands nombres se rapporte plus étroitement au centre de la courbe en cloche. La loi des grands nombres indique qu’à mesure que la taille de l’échantillon augmente, la moyenne de l’échantillon ressemblera davantage à la moyenne de la population. Par conséquent, la loi des grands nombres concerne le pic (la moyenne) d’une courbe, tandis que le théorème central limite concerne la distribution d’une courbe.
Loi des grands nombres et croissance des entreprises
Dans les affaires et la finance, ce terme loi des grands nombres est parfois utilisé familièrement pour désigner l’observation selon laquelle les taux de croissance exponentiels ne sont souvent pas évolutifs. Ceci n’est pas réellement lié à la loi des grands nombres, mais peut être le résultat de la loi des rendements marginaux décroissants ou des déséconomies d’échelle.
Les mêmes principes peuvent être appliqués à d’autres mesures, telles que la capitalisation boursière ou le bénéfice net. Par conséquent, les décisions d’investissement peuvent être guidées en fonction des difficultés associées que les sociétés à très forte capitalisation boursière peuvent rencontrer en ce qui concerne l’appréciation des actions. Ce concept est quelque peu central pour les actions de croissance par rapport aux actions de valeur, car une entreprise peut le trouver pour maintenir sa stratégie commerciale de croissance rapide une fois qu’elle a réussi sur le marché.
Loi des grands nombres en entreprise Exemple
Au cours de l’exercice 2020, Tesla a déclaré des ventes automobiles (et non des ventes brutes) de 24,604 milliards de dollars. L’année suivante, la société a rapporté 44,125 milliards de dollars, soit une augmentation d’environ 79 %. Comme les véhicules électriques sont un marché émergent et que Tesla commence enfin à réaliser des économies d’échelle, l’entreprise commence à connaître le succès très rapidement.
La loi des grands nombres indique qu’à mesure que Tesla continue de croître, il deviendra plus difficile pour l’entreprise de maintenir ce niveau de productivité. Par exemple, en supposant un taux de croissance stable au cours des prochaines années, il devient rapidement évident que Tesla ne peut tout simplement pas maintenir sa trajectoire de croissance actuelle car les valeurs sous-jacentes en dollars deviennent déraisonnables.
| Revenus automobiles théoriques de Tesla | ||
|---|---|---|
| An | Revenu | Remarques |
| 2021 | 44,1 milliards de dollars | Chiffres réels |
| 2022 | 79,0 milliards de dollars | |
| 2023 | 141,4 milliards de dollars | |
| 2024 | 253,1 milliards de dollars | Dépasserait les ventes nettes totales d’Apple sur six mois se terminant en mars 2022. |
| 2025 | 453,0 milliards de dollars | |
| 2026 | 810,9 milliards de dollars | Serait près de six fois plus important que le chiffre d’affaires de Ford pour l’année 2021 (136,3 milliards de dollars). |
| 2027 | 1,451 billion de dollars | Les ventes totales de voitures en 2021 pour les 20 principaux constructeurs automobiles combinés seraient presque égales à 1,7 billion de dollars. |
Loi des grands nombres et assurance
La loi des grands nombres est également importante dans l’industrie de l’assurance pour calculer et affiner le risque projeté. Imaginez une situation où une compagnie d’assurance évalue le montant à facturer à différents clients pour l’assurance automobile. Si l’entreprise dispose d’un petit ensemble de données, elle ne sera pas en mesure de déterminer adéquatement les profils de risque appropriés.
Au fur et à mesure que l’agence d’assurance recueille plus de données, elle subit la loi des grands nombres, ils pourraient bientôt découvrir que les jeunes conducteurs masculins sont les plus susceptibles de causer un accident. Cet échantillon plus large devient plus représentatif des incidents de conduite, et la compagnie d’assurance peut arriver à des conclusions plus précises sur les primes d’assurance appropriées à facturer.
De plus, la loi des grands nombres permet aux compagnies d’assurance d’affiner en profondeur les critères d’évaluation des primes en analysant les caractéristiques qui entraînent un risque plus élevé. Par exemple,
Pourquoi la loi des grands nombres est-elle importante ?
Dans l’analyse statistique, la loi des grands nombres est importante car elle donne de la validité à la taille de votre échantillon. Lorsque vous travaillez avec une petite quantité de données, les hypothèses que vous faites peuvent ne pas se traduire de manière appropriée par la population réelle. Par conséquent, il est important de s’assurer que suffisamment de points de données sont capturés pour représenter correctement l’ensemble des données.
En affaires, la loi des grands nombres est importante lors de la définition des cibles ou des objectifs. Une entreprise peut doubler son chiffre d’affaires en une seule année. Si l’entreprise n’obtient qu’une croissance de 50 % de ses revenus l’année suivante, elle aura gagné le même montant d’argent chacune des deux dernières années. Par conséquent, il est important de garder à l’esprit que les pourcentages peuvent être trompeurs à mesure que les valeurs en dollars augmentent.
Comment les entreprises peuvent-elles relever le défi de la loi des grands nombres ?
Les entreprises s’efforcent souvent de surmonter le défi de la loi des grands nombres en acquérant de plus petites entreprises de croissance qui peuvent insuffler une croissance évolutive. Ils tentent également de devenir plus efficaces et d’utiliser leur taille pour les avantages de la fabrication, de la commande ou de la distribution. Enfin, les entreprises peuvent être plus attentives aux objectifs en dollars qu’aux objectifs en pourcentage.
Qu’est-ce que la loi des petits nombres ?
La loi des petits nombres est la théorie selon laquelle les gens sous-estiment la variabilité des petits échantillons. Cela signifie que lorsque les gens étudient une taille d’échantillon trop petite, ils surestiment généralement la valeur de la population en se basant sur la taille d’échantillon incorrecte.
Qu’est-ce que la loi des grands nombres en psychologie ?
Semblable à d’autres exemples ci-dessus, la loi des grands nombres en psychologie se traduit par la façon dont un plus grand nombre d’essais conduit souvent à une valeur attendue plus précise. Plus les essais sont effectués, plus la projection est proche d’une évaluation médicale correcte.
L’essentiel
Lors de l’analyse d’un ensemble de données, assurez-vous de comprendre la loi des grands nombres pour déterminer si la taille de votre échantillon est représentative ou non de votre population. D’autre part, lors de l’analyse d’une entreprise, soyez conscient de sa taille. À mesure qu’une entreprise grandit, la loi des grands nombres stipule qu’il deviendra plus difficile pour une entreprise de maintenir une variation en pourcentage (croissance) en raison de la variation importante sous-jacente des montants en dollars.
