Distribution lognormale et normale
Les mathématiques derrière la finance peuvent être un peu déroutantes et fastidieuses. Heureusement, la plupart des programmes informatiques effectuent des calculs complexes. Cependant, il est crucial de comprendre les différents termes et méthodes statistiques, leur signification et celui qui analyse le mieux les investissements pour choisir le titre approprié et obtenir l’impact souhaité sur un portefeuille.
Une décision importante consiste à choisir entre les distributions normales et lognormales, les deux étant souvent mentionnées dans la littérature de recherche. Avant de choisir, vous devez savoir :
- Que sont ils
- Quelles différences existent entre eux
- Comment ils impactent les décisions d’investissement
Normal contre Lognormal
Les distributions normales et lognormales sont utilisées en mathématiques statistiques pour décrire la probabilité qu’un événement se produise. Lancer une pièce est un exemple de probabilité facile à comprendre. Si vous lancez une pièce 1000 fois, quelle est la distribution des résultats ? C’est-à-dire combien de fois atterrira-t-il sur pile ou face ? Il y a une probabilité de 50% qu’il atterrisse sur pile ou face. Cet exemple de base décrit la probabilité et la distribution des résultats.
Il existe de nombreux types de distributions, dont la distribution normale ou en cloche.
Dans une distribution normale, 68 % (34 % + 34 %) des résultats se situent dans un écart type et 95 % (68 % + 13,5 % + 13,5 %) se situent dans deux écarts types. Au centre (le point 0 de l’image ci-dessus) la médiane (la valeur médiane dans l’ensemble), le mode (la valeur qui se produit le plus souvent) et la moyenne (moyenne arithmétique) sont tous les mêmes.
La distribution lognormale diffère de la distribution normale de plusieurs manières. Une différence majeure réside dans sa forme : la distribution normale est symétrique, alors que la distribution lognormale ne l’est pas. Étant donné que les valeurs d’une distribution lognormale sont positives, elles créent une courbe asymétrique à droite.
Cette asymétrie est importante pour déterminer quelle distribution est appropriée à utiliser dans la prise de décision d’investissement. Une autre distinction est que les valeurs utilisées pour dériver une distribution lognormale sont normalement distribuées.
Clarifions avec un exemple. Un investisseur veut connaître le cours futur prévu de l’action. Étant donné que les actions croissent à un taux composé, elles doivent utiliser un facteur de croissance. Pour calculer les prix attendus possibles, ils prendront le cours actuel de l’action et le multiplieront par divers taux de rendement (qui sont des facteurs exponentiels mathématiquement dérivés basés sur la composition), qui sont supposés être normalement distribués. Lorsque l’investisseur compose continuellement les rendements, ils créent une distribution lognormale. Cette distribution est toujours positive même si certains des taux de rendement sont négatifs, ce qui se produira 50% du temps dans une distribution normale. Le cours futur des actions sera toujours positif car les cours des actions ne peuvent pas descendre en dessous de 0 $.
Quand utiliser la distribution normale par rapport à la distribution lognormale
L’exemple précédent nous a permis d’arriver à ce qui compte vraiment pour les investisseurs : quand utiliser chaque méthode. Lognormal est extrêmement utile lors de l’analyse des prix des actions. Tant que le facteur de croissance utilisé est supposé être distribué normalement (comme nous le supposons avec le taux de rendement), alors la distribution lognormale est logique. La distribution normale ne peut pas être utilisée pour modéliser les cours des actions car elle a un côté négatif et les cours des actions ne peuvent pas tomber en dessous de zéro.
Une autre utilisation similaire de la distribution lognormale est la tarification des options. Le modèle de Black-Scholes, utilisé pour évaluer les options, utilise la distribution lognormale comme base pour déterminer les prix des options.
Inversement, la distribution normale fonctionne mieux lors du calcul des rendements totaux du portefeuille. La distribution normale est utilisée parce que le rendement moyen pondéré (le produit du poids d’un titre dans un portefeuille et de son taux de rendement) est plus précis pour décrire le rendement réel du portefeuille (positif ou négatif), en particulier si les poids varient d’un grand degré. Voici un exemple typique :
| Titres en portefeuille | Poids | Retour | Rendements pondérés |
| Stock A | 40% | 12% | 40 % * 12 % = 4,8 % |
| Action B | 60% | 6% | 60% * 6% = 3,6% |
| Rendement moyen pondéré total | 4,8% + 3,6% = 8,4% |
Bien que le rendement lognormal pour la performance totale du portefeuille puisse être plus rapide à calculer sur une période de temps plus longue, il ne parvient pas à capturer les pondérations des actions individuelles, ce qui peut fausser considérablement le rendement. De plus, les rendements du portefeuille peuvent être positifs ou négatifs, et une distribution lognormale ne parviendra pas à capturer les aspects négatifs.
La ligne de fond
Bien que les nuances qui différencient les distributions normales et lognormales puissent nous échapper la plupart du temps, la connaissance de l’apparence et des caractéristiques de chaque distribution permettra de mieux comprendre comment modéliser les rendements du portefeuille et les cours futurs des actions.
