Définition du théorème central limite (CLT)

Qu’est-ce que le théorème central limite (CLT) ?

En théorie des probabilités, le théorème central limite (CLT) stipule que la distribution d’une variable d’échantillon se rapproche d’une distribution normale (c’est-à-dire une « courbe en cloche ») à mesure que la taille de l’échantillon augmente, en supposant que tous les échantillons sont de taille identique, et indépendamment de de la forme de distribution réelle de la population.

En d’autres termes, le CLT est une prémisse statistique selon laquelle, étant donné une taille d’échantillon suffisamment grande d’une population avec un niveau de variance fini, la moyenne de toutes les variables échantillonnées de la même population sera approximativement égale à la moyenne de la population. De plus, ces échantillons se rapprochent d’une distribution normale, leurs variances étant approximativement égales à la variance de la population car la taille de l’échantillon est plus grande selon la loi des grands nombres.

Bien que ce concept ait été développé pour la première fois par Abraham de Moivre en 1733, il n’a été officialisé qu’en 1930, lorsque le célèbre mathématicien hongrois George Polya l’a surnommé le théorème central limite.

Comprendre le théorème central limite

Selon le théorème central limite, la moyenne d’un échantillon de données sera plus proche de la moyenne de la population globale en question, à mesure que la taille de l’échantillon augmente, quelle que soit la distribution réelle des données. En d’autres termes, les données sont exactes, que la distribution soit normale ou aberrante.

En règle générale, des tailles d’échantillon égales ou supérieures à 30 sont jugées suffisantes pour la tenue du CLT, ce qui signifie que la distribution des moyennes de l’échantillon est assez normalement distribuée. Par conséquent, plus on prend d’échantillons, plus les résultats graphiques prennent la forme d’une distribution normale. Notez, cependant, que la théorie de la limite centrale sera toujours approchée dans de nombreux cas pour des tailles d’échantillon beaucoup plus petites, telles que n=8 ou n=5.

Le théorème central limite est souvent utilisé en conjonction avec la loi des grands nombres, qui stipule que la moyenne des moyennes et des écarts types de l’échantillon se rapprochera de la moyenne de la population et de l’écart type à mesure que la taille de l’échantillon augmente, ce qui est extrêmement utile dans prédire avec précision les caractéristiques des populations.

Le théorème central limite en finance

Le CLT est utile lors de l’examen des rendements d’une action individuelle ou d’indices plus larges, car l’analyse est simple, en raison de la relative facilité de générer les données financières nécessaires. Par conséquent, les investisseurs de tous types s’appuient sur le CLT pour analyser les rendements boursiers, construire des portefeuilles et gérer les risques.

Supposons, par exemple, qu’un investisseur souhaite analyser le rendement global d’un indice boursier composé de 1 000 actions. Dans ce scénario, cet investisseur peut simplement étudier un échantillon aléatoire d’actions, pour cultiver les rendements estimés de l’indice total. Pour être sûr, au moins 30 actions sélectionnées au hasard, dans divers secteurs, doivent être échantillonnées pour que le théorème central de la limite soit valable. De plus, les actions précédemment sélectionnées doivent être échangées avec des noms différents pour aider à éliminer les biais.