Définition du modèle Heston

Qu’est-ce que le modèle Heston ?

Le modèle Heston, du nom de Steve Heston, est un type de modèle de volatilité stochastique utilisé pour évaluer les options européennes.

Comprendre le modèle de Heston

Le modèle Heston, développé par le professeur agrégé de finance Steven Heston en 1993, est un modèle d’évaluation des options qui peut être utilisé pour évaluer les options sur divers titres. Il est comparable au modèle de tarification des options Black-Scholes, plus populaire.

Dans l’ensemble, les modèles d’évaluation des options sont utilisés par des investisseurs avancés pour estimer et évaluer le prix d’une option particulière, en négociant un titre sous-jacent sur le marché financier. Les options, tout comme leur titre sous-jacent, auront des prix qui changent tout au long de la journée de négociation. Les modèles d’évaluation des options cherchent à analyser et à intégrer les variables qui provoquent la fluctuation des prix des options afin d’identifier le meilleur prix d’option pour l’investissement.

En tant que modèle de volatilité stochastique, le modèle Heston utilise des méthodes statistiques pour calculer et prévoir le prix des options en supposant que la volatilité est arbitraire. L’hypothèse selon laquelle la volatilité est arbitraire plutôt que constante est le facteur clé qui rend les modèles de volatilité stochastique uniques. D’autres types de modèles de volatilité stochastique incluent le modèle SABR, le modèle Chen et le modèle GARCH.

Différences clés

Le modèle Heston présente des caractéristiques qui le distinguent des autres modèles de volatilité stochastique, à savoir :

• Il prend en compte une éventuelle corrélation entre le cours d’une action et sa volatilité.
• Il traduit la volatilité comme un retour à la moyenne.
• Il donne une solution fermée, ce qui signifie que la réponse est dérivée d’un ensemble accepté d’opérations mathématiques.
• Il n’exige pas que les cours des actions suivent une distribution de probabilité lognormale.

Le modèle Heston est également un type de modèle de sourire de volatilité. « Sourire » fait référence au sourire de volatilité, une représentation graphique de plusieurs options avec des dates d’expiration identiques qui montrent une volatilité croissante à mesure que les options deviennent plus dans la monnaie (ITM) ou hors de la monnaie (OTM). Le nom du modèle de sourire dérive de la forme concave du graphique, qui ressemble à un sourire.

Méthodologie du modèle Heston

Le modèle Heston est une solution fermée pour la tarification des options qui cherche à surmonter certaines des lacunes présentées dans le modèle de tarification des options Black-Scholes. Le modèle Heston est un outil pour les investisseurs avancés.

Le calcul est le suivant :

$\begin{array}{cc}& \end{array}$

ré

S

t

=

r

S

t

ré

t

+

V

t

S

t

ré

W

1

t

ré

V

t

=

k

(

??

−

V

t

)

ré

t

+

??

V

t

ré

W

2

t

où:

S

t

=

prix de l’actif au moment

t

r

=

taux d’intérêt sans risque – taux théorique sur un

actif sans risque

V

t

=

volatilité (écart type) du prix de l’actif

??

=

volatilité de la

V

t

??

=

écart de prix à long terme

k

=

taux de retour à

??

ré

t

=

incrément de temps positif indéfiniment petit

W

1

t

=

Mouvement brownien du prix de l’actif

W

2

t

=

Mouvement brownien de la variance du prix de l’actif

begin{aligné} &dS_t = rS_tdt + sqrt{ V_t } S_tdW_{1t} \ &dV_t = k ( theta – V_t ) dt+ sigma sqrt{ V_t } dW_{2t} \ &textbf{où :} \ &S_t = text{prix de l’actif au moment } t \ &r = text{taux d’intérêt sans risque — taux théorique sur un} \ &text{actif sans risque} \ &sqrt{ V_t } = text{volatilité (écart type) du prix de l’actif} \ &sigma = text{volatilité du } sqrt{ V_t } \ &theta = text{variance de prix à long terme} \ &k = text{taux de retour à } theta \ &dt = text{incrément de temps positif indéfiniment petit} \ &W_{1t} = text{mouvement brownien du prix de l’actif} \ &W_{2t} = text{mouvement brownien de la variance du prix de l’actif} \ end{aligned} ​réSt​=rSt​rét+Vt​​St​réW1t​réVt​=k(??−Vt​)rét+??Vt​​réW2t​où:St​=prix de l’actif au moment tr=taux d’intérêt sans risque – taux théorique sur unactif sans risqueVt​​=volatilité (écart type) du prix de l’actif??=volatilité de la Vt​​??=écart de prix à long termek=taux de retour à ??rét=incrément de temps positif indéfiniment petitW1t​=Mouvement brownien du prix de l’actifW2t​=Mouvement brownien de la variance du prix de l’actif​

Modèle Heston contre Black-Scholes

Le modèle Black-Scholes pour l’évaluation des options a été introduit dans les années 1970 et a été l’un des premiers modèles pour aider les investisseurs à dériver un prix associé à une option sur un titre. En général, il a contribué à promouvoir l’investissement en options car il a créé un modèle d’analyse du prix des options sur divers titres.

Les modèles Black-Scholes et Heston sont tous deux basés sur des calculs sous-jacents qui peuvent être codés et programmés via Excel avancé ou d’autres systèmes quantitatifs. La formule d’option d’achat de Black-Scholes est calculée en multipliant le cours de l’action par la fonction de distribution de probabilité normale standard cumulative.

Par la suite, la valeur actuelle nette (VAN) du prix d’exercice multipliée par la distribution normale standard cumulée est soustraite de la valeur résultante du calcul précédent.

En notation mathématique,

Appel = S * N(d₁) – K_e^{(-r * T) * N(d}₂⁾

Inversement, la valeur d’une option de vente pourrait être calculée à l’aide de la formule :

Mettre = K_e^{(-r * T) * N(-d2)} – S * N(-d₁)

Dans les deux formules, S est le cours de l’action, K est le prix d’exercice, r est le taux d’intérêt sans risque et T est le temps jusqu’à l’échéance.

La formule pour d₁ est:

(ln(S/K) + (r + (Volatilité annualisée)²/2) * T)/(Volatilité annualisée * (T^0,5))

La formule pour d₂ est:

d1 – (Volatilité annualisée) * (T^0,5)

Considérations particulières

Le modèle Heston est remarquable car il cherche à combler l’une des principales limitations du modèle Black-Scholes qui maintient la volatilité constante. L’utilisation de variables stochastiques dans le modèle Heston fournit la notion que la volatilité n’est pas constante mais arbitraire.

Le modèle de base de Black-Scholes et le modèle Heston ne fournissent toujours que des estimations de prix d’option pour une option européenne, qui est une option qui ne peut être exercée qu’à sa date d’expiration. Diverses recherches et modèles ont été étudiés pour évaluer les options américaines à travers Black-Scholes et le modèle Heston. Ces variations fournissent des estimations d’options exerçables à n’importe quelle date précédant la date d’expiration, comme c’est le cas pour les options américaines.