Comment utiliser la règle de 72 pour calculer la composition continue ?
La règle de 72 est un raccourci mathématique utilisé pour prédire quand une population, un investissement ou une autre catégorie en croissance doublera de taille pour un taux de croissance donné. Il est également utilisé comme un dispositif heuristique pour démontrer la nature de l’intérêt composé. Il a été recommandé par de nombreux statisticiens que le nombre 69 soit utilisé, plutôt que 72, pour estimer les résultats des taux de croissance composés continus. Calculez à quelle vitesse la composition continue doublera la valeur de votre investissement en divisant 69 par son taux de croissance.
La règle de 72 était en fait basée sur la règle de 69, et non l’inverse. Pour la composition non continue, le nombre 72 est plus populaire car il comporte plus de facteurs et est plus facile à calculer rapidement.
Composition continue
En finance, la composition continue fait référence à un taux de croissance avec des périodes de composition infiniment petites ; les intérêts générés sont calculés et composés plus d’une fois par seconde, par exemple.
Étant donné qu’un investissement avec composition continue croît plus rapidement qu’un investissement avec composition simple ou discrète, les calculs standard de la valeur temporelle de l’argent sont mal équipés pour les gérer.
Règle de 72 et composition
La règle de 72 provient d’une formule d’intérêt composé standard :
V
F
vous
t
vous
r
e
=
P
V
??
(
1
+
r
)
m
où:
V
F
vous
t
vous
r
e
=
Valeur future
P
V
=
Valeur actuelle
r
=
Taux d’intérêt
m
=
Nombre de périodes de composition
begin{aligned} &V_{Future} = PV * left(1 + r right)^n\ &textbf{where:}\ &V_{Future} = text{Future value}\ &PV = text{Valeur actuelle}\ &r = text{Taux d’intérêt}\ &n = text{Nombre de périodes de composition} end{aligned} VFvoustvousre=PV??(1+r)moù:VFvoustvousre=Valeur futurePV=Valeur actueller=Taux d’intérêtm=Nombre de périodes de composition
Cette formule permet de trouver une valeur future qui est exactement le double de la valeur actuelle. Pour ce faire, substituez Vf = 2 et PV = 1 :
2
=
(
1
−
r
)
m
2 = left(1- r right)^n 2=(1−r)m
Maintenant, prenez le logarithme des deux côtés de l’équation et utilisez la règle de puissance pour simplifier davantage l’équation :
2
=
(
1
−
r
)
m
??
dans
??
2
=
dans
??
(
1
−
r
)
m
=
m
??
dans
??
(
1
−
r
)
??
0,693
??
m
??
r
begin{aligned} 2 &= left(1- r right)^n\ &donc\ ln{2} &= ln{left(1- r right)^n} \ &= n*ln{left(1- r right)}\ &donc\ 0,693 &approx n*r end{aligned} 2dans20.693=(1−r)m??=dans(1−r)m=m??dans(1−r)????m??r
Puisque 0,693 est le logarithme népérien de 2. Cette simplification tire parti du fait que, pour de petites valeurs de r, l’approximation suivante est vraie :
dans
??
(
1
+
r
)
??
r
ln{left(1+rright)}approx r dans(1+r)??r
L’équation peut être réécrite pour isoler le nombre de périodes : 0,693 / taux d’intérêt = n. Pour faire du taux d’intérêt un nombre entier, multipliez les deux côtés par 100. La dernière formule est alors 69,3 / taux d’intérêt (pourcentage) = nombre de périodes.
Il n’est pas très facile de calculer certains nombres divisés par 69,3, donc les statisticiens et les investisseurs se sont fixés sur l’entier le plus proche avec de nombreux facteurs : 72. Cela a créé la règle de 72 pour une valeur future rapide et des estimations composées.
La composition continue et la règle de 69(.3)
L’hypothèse selon laquelle le logarithme naturel de (1 + taux d’intérêt) est égal au taux d’intérêt n’est vraie que lorsque le taux d’intérêt se rapproche de zéro par pas infiniment petits. En d’autres termes, ce n’est que dans le cadre d’une composition continue qu’un investissement doublera de valeur selon la règle de 69.
Si vous voulez vraiment calculer à quelle vitesse un investissement doublera pour un taux d’intérêt donné, utilisez la règle de 69. Plus précisément, utilisez la règle de 69,3.
Supposons qu’un investissement à taux fixe garantisse une croissance composée de 4 % en continu. En appliquant la règle de la formule 69,3 et en divisant 69,3 par 4, vous pouvez constater que l’investissement initial devrait doubler de valeur en 17,325 ans.